Introducción

     El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

     Originalmente, la  trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

Razones trigonométricas

  Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.   Coseno:  razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.   Tangente:  razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.   Cotangente:  razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.   Secante:  razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.   Cosecante:  razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

 

Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

 

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

 1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:

 2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:

 Resolución de triángulos rectángulos

     Resolver un triángulo significa encontrar el valor númerico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

                                

     Con lo poco que hemos estudiado hasta ahora, estamos capacitados para resolver triángulos rectángulos cuando nos dan el valor de uno de sus ángulos y el de uno de los lados. No obstante

Plano cartesiano

     Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).

Existen dos casos:

Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.

Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa  y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.

Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el ejex.

 

 Ejercicios resueltos

1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)

Solución:

Para facilitar su referencia, nombramos los puntos: A(-2, 3), B(2, -3), C(2, 3), D(-2, -3), E(0, 5), F(5, 0), G(4, 4), H(-4, -4)

Ángulo y círculo trigonométrico

Ángulo trigonométrico:        Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (Fig.1), el ángulo A0B es positivo y el ángulo A0B' es negativo. Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.    Unidad de medida de los ángulos: los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes.

(Fig.1)   (Fig.2)

En el sistema sexagesimal se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de 1/360 parte de una vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado      ° minuto     '       segundo  ''

 Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferncia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1p radianes.

 

En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián".

En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".

 Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

Ángulo en posición normal: Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes). En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.

 Círculo trigonométrico:

Se llama círculo trigonométrico, o goniométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. A la derecha se puede observar un círculo trigonométrico.

Ejercicios resueltos           En el ejercicio 1, calcule la medida equivalente en radianes; en el 2, calcule la medida equivalente en grados sexagesimales.

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

Funciones trigonométricas definidas mediante una circunferencia unitaria

Funciones trigonométricas

 Deducción de lo valores de las funciones trigonométricas para arcos notables

t = 0: En este caso las coordenadas de P son x = 1   e y = 0; y las funciones se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).
Aquí, las coordenadas de P son x = 0  e  y = 1. Las funciones se deducen a partir de su respectiva definición. En este caso, la tangente y la secante no están definidas, tienen denominador x, y la división por 0 no existe.
Como P está en el segundo cuadradante, x = -1, y = 0; y las funciones se deducen a partir de sus definiciones respectivas
Al realizar un giro completo, P se encuentra en el punto de partida y las funciones coinciden con las de t = 0.

Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables
t	(x, y)	sen t	cos t	tan t	cot t	sec t	csc t
0	(1, 0)	0	1	0	No existe	1	No existe
							2
				1	1
						2
	(0, 1)	1	0	No existe	0	No existe	1
	(-1, 0)	0	-1	0	No existe	-1	No existe
	(1, 0)	0	1	0	No existe	1	No existe

 

Gráficas de las funciones trigonométricas             Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U. El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio del seno y el coseno es [-1, 1]. Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales x = 0; esto es, para        Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales y = 0; esto es, para        El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales; mientras que, el codominio de las funciones secante y cosecante es

Funciones trigonométricas de ángulos

 

( fig.1)

Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.           En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
seno coseno tangente cotangente secante cosecante I + + + + + + II + + III + + IV + +

 Funciones trigonométricas en un círculo goniométrico:

Como ya se dijo con  anterioridad, un círculo trigonométrico o goniométrico tiene un radio cuya medida es igual a la unidad. De acuerdo con las deficiones y teniendo en cuenta que la distancia al origen de P es 1, se tiene:

 

Ejercicios resueltos             En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6 deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da.

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Líneas trigonométricas

          Las razones trigonométricas deducidas en un círculo goniométrico se corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrante es similar.

Reducción al primer cuadrante

          Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.

 

 Funciones trigonométricas de (180° - a):

	( fig.1)

Ejercicios resueltos de la trigonometría de Baldor

 

           A continuación se dá la lista y la relación por temas de los ejercicios resueltos de la trigonometría de Baldor. Haciendo clic en el enlace correspondiente se puede acceder al contenido y solución:

Ejercicios 1: Plano cartesiano, relaciones trigonométricas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, signos de las funciones trigonométricas, rango de las funciones trigonométricas, valor de las funciones para ángulos especiales (30°, 45°, 60°).

Ejercicios 2: Líneas trigonométricas, reducción de funciones trigonométricas a otras equivalentes y menores de 45°.

Ejercicios 3: Dada una función trigonométrica de un ángulo, calcular las restantes; identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas.

Ejercicios 4: Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, identidades que comprometen funciones de suma y diferencia de ángulos.

Ejercicios 5: Funciones trigonométricas del ángulo duplo, del ángulo triplo y del ángulo mitad; transformación de sumas y diferencias de senos, cosenos y tangentes en productos.

Ejercicios 6: Resolución de triángulos rectángulos.

Ejercicios 7: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados los tres lados), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes.

Ejercicios 8: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados dos lados y el ángulo comprendido), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes.

Ejercicios 9: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados un lado y dos ángulos), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangente.

Ejercicios 10: Áreas de los triángulos oblicuángulos.

Miscelánea (1)

Demuestre las siguientes identidades:

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 3.  Solución:

4.  Solución:    5.  Solución:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 14.  Solución:

Introducción

 

     El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

     Originalmente, la  trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

Razones trigonométricas

  Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.   Coseno:  razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.   Tangente:  razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.   Cotangente:  razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.   Secante:  razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.   Cosecante:  razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

 

Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

 

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

 1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:

 2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:

 Resolución de triángulos rectángulos

     Resolver un triángulo significa encontrar el valor númerico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

                                

     Con lo poco que hemos estudiado hasta ahora, estamos capacitados para resolver triángulos rectángulos cuando nos dan el valor de uno de sus ángulos y el de uno de los lados. No obstante

Plano cartesiano

     Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).

Existen dos casos:

Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.

Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa  y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.

Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el ejex.

 

 Ejercicios resueltos

1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)

Solución:

Para facilitar su referencia, nombramos los puntos: A(-2, 3), B(2, -3), C(2, 3), D(-2, -3), E(0, 5), F(5, 0), G(4, 4), H(-4, -4)

Ángulo y círculo trigonométrico

Ángulo trigonométrico:        Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (Fig.1), el ángulo A0B es positivo y el ángulo A0B' es negativo. Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.    Unidad de medida de los ángulos: los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes.

(Fig.1)   (Fig.2)

En el sistema sexagesimal se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de 1/360 parte de una vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado      ° minuto     '       segundo  ''

 Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferncia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1p radianes.

 

En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián".

En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".

 Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

Ángulo en posición normal: Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes). En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.

 Círculo trigonométrico:

Se llama círculo trigonométrico, o goniométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. A la derecha se puede observar un círculo trigonométrico.

Ejercicios resueltos           En el ejercicio 1, calcule la medida equivalente en radianes; en el 2, calcule la medida equivalente en grados sexagesimales.

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

Funciones trigonométricas definidas mediante una circunferencia unitaria

Funciones trigonométricas

 Deducción de lo valores de las funciones trigonométricas para arcos notables

t = 0: En este caso las coordenadas de P son x = 1   e y = 0; y las funciones se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).
Aquí, las coordenadas de P son x = 0  e  y = 1. Las funciones se deducen a partir de su respectiva definición. En este caso, la tangente y la secante no están definidas, tienen denominador x, y la división por 0 no existe.
Como P está en el segundo cuadradante, x = -1, y = 0; y las funciones se deducen a partir de sus definiciones respectivas
Al realizar un giro completo, P se encuentra en el punto de partida y las funciones coinciden con las de t = 0.

Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables
t	(x, y)	sen t	cos t	tan t	cot t	sec t	csc t
0	(1, 0)	0	1	0	No existe	1	No existe
							2
				1	1
						2
	(0, 1)	1	0	No existe	0	No existe	1
	(-1, 0)	0	-1	0	No existe	-1	No existe
	(1, 0)	0	1	0	No existe	1	No existe

 

Gráficas de las funciones trigonométricas             Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U. El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio del seno y el coseno es [-1, 1]. Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales x = 0; esto es, para        Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales y = 0; esto es, para        El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales; mientras que, el codominio de las funciones secante y cosecante es

Funciones trigonométricas de ángulos

 

( fig.1)

Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.           En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
seno coseno tangente cotangente secante cosecante I + + + + + + II + + III + + IV + +

 Funciones trigonométricas en un círculo goniométrico:

Como ya se dijo con  anterioridad, un círculo trigonométrico o goniométrico tiene un radio cuya medida es igual a la unidad. De acuerdo con las deficiones y teniendo en cuenta que la distancia al origen de P es 1, se tiene:

 

Ejercicios resueltos             En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6 deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da.

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Líneas trigonométricas

          Las razones trigonométricas deducidas en un círculo goniométrico se corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrante es similar.

Reducción al primer cuadrante

          Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.

 

 Funciones trigonométricas de (180° - a):

	( fig.1)

Ejercicios resueltos de la trigonometría de Baldor

 

           A continuación se dá la lista y la relación por temas de los ejercicios resueltos de la trigonometría de Baldor. Haciendo clic en el enlace correspondiente se puede acceder al contenido y solución:

Ejercicios 1: Plano cartesiano, relaciones trigonométricas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, signos de las funciones trigonométricas, rango de las funciones trigonométricas, valor de las funciones para ángulos especiales (30°, 45°, 60°).

Ejercicios 2: Líneas trigonométricas, reducción de funciones trigonométricas a otras equivalentes y menores de 45°.

Ejercicios 3: Dada una función trigonométrica de un ángulo, calcular las restantes; identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas.

Ejercicios 4: Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, identidades que comprometen funciones de suma y diferencia de ángulos.

Ejercicios 5: Funciones trigonométricas del ángulo duplo, del ángulo triplo y del ángulo mitad; transformación de sumas y diferencias de senos, cosenos y tangentes en productos.

Ejercicios 6: Resolución de triángulos rectángulos.

Ejercicios 7: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados los tres lados), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes.

Ejercicios 8: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados dos lados y el ángulo comprendido), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes.

Ejercicios 9: Resolución de triángulos oblicuángulos (dados un lado y dos ángulos), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangente.

Ejercicios 10: Áreas de los triángulos oblicuángulos.

Miscelánea (1)

Demuestre las siguientes identidades:

 

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 3.  Solución:

4.  Solución:    5.  Solución:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 14.  Solución: